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原子只位於立方體的八個角落。最近鄰原子沿立方體稜邊(⟨100⟩ 方向)互相接觸,因此 a = 2R。每個角原子由八個晶胞共用,一個晶胞實際只擁有 1 顆原子。
依真實尺寸繪製:R = a/2。相鄰球恰好在每條稜邊的中點相切(綠點)。球與球之間看得見的大片空隙,正是 APF 所說的 48 % 空間——這也是幾乎沒有金屬採用 SC 的原因。
每顆原子有六個等距的最近鄰:±x、±y、±z,距離皆為 a。配位數 CN = 6,是四種結構中最低的,對應最低的堆積密度。
最密方向是稜邊 ⟨100⟩(紅桿)。一條稜邊上只有兩顆角原子相切,長度 = 2R,因此 a = 2R——四者之中唯一不必開根號的關係式。
把晶胞往外堆疊成 2×2×2 就看得出角原子為何只算 ⅛:紅色那顆同時屬於交會在該點的八個立方體。紫色框出其中一個晶胞,八個角各貢獻 ⅛,合計 8 × ⅛ = 1 顆。
八個角落之外,體心多了一顆完整的原子。每晶胞原子數 = 8 × ⅛ + 1 = 2。注意體心那顆與角原子是同一種原子,只是位置不同。
R = √3a/4 ≈ 0.433a。角原子彼此並不接觸——真正相切的是角原子與體心原子(綠點在體對角線上)。這是 BCC 最容易被誤解的一點。
以體心原子為參考,它的最近鄰就是八個角原子,距離皆為 √3a/2。配位數 CN = 8,比 SC 多兩個,APF 因而由 0.52 提升到 0.68。
最密方向是體對角線 ⟨111⟩(紅桿)。對角線上有三顆原子相切:角、體心、角,長度 = √3a = 4R,所以 a = 4R/√3。這就是 BCC 所有計算的出發點。
2×2×2 堆疊後可以看出兩件事:角原子(含紅色那顆)由八個晶胞共用,而體心原子完整地待在紫框晶胞內部、不與任何鄰胞共用。所以 8 × ⅛ + 1 = 2 顆。
八個角落加上六個面心,每個面心原子由兩個晶胞共用。每晶胞原子數 = 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4,是 SC 的四倍。
R = √2a/4 ≈ 0.354a。角原子與面心原子沿面對角線相切,相鄰的面心原子彼此也相切(綠點)。APF 0.74 是等徑球體所能達到的最大值——與 HCP 並列。
每顆原子有十二個等距最近鄰,距離皆為 a/√2。配位數 CN = 12,與 HCP 相同;兩者同為最密堆積結構,差別只在堆疊順序。
最密方向是面對角線 ⟨110⟩(紅桿)。面對角線上三顆原子相切:角、面心、角,長度 = √2a = 4R,所以 a = 2√2R。
2×2×2 堆疊後角原子由八個晶胞共用(紅色那顆),面心原子則位於兩個晶胞的交界面上、由兩者均分。紫框晶胞因此擁有 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4 顆。
FCC 的最密平面是 {111},堆疊順序為 ABCABC:第三層(紫)落在第一層(藍)與第二層(綠)都沒佔用的第三組空隙上,要到第四層才回到 A。顏色在此代表層的位置,不是不同元素——三層都是同一種原子。切到 HCP 比較看看。
六角柱晶胞:上下底面各 6 顆角原子與 1 顆面心原子,中間層另有 3 顆完整位於柱內的原子。每晶胞原子數 = 12 × ⅙ + 2 × ½ + 3 = 6。
依真實尺寸繪製,R 與 FCC 完全相同。底面內原子彼此相切(a = 2R),中間層原子則坐落在下層的凹穴中,與上下各三顆相切。APF 0.7405,和 FCC 一模一樣。
以底面中心原子為參考:同層 6 顆、上層 3 顆、下層 3 顆,距離皆為 a。配位數 CN = 12,與 FCC 相同——這正是兩者 APF 相等的原因。
紅色四面體固定了 c/a:底面三顆相切原子(邊長 a = 2R)加上落在凹穴中的中層原子。四面體高就是 c/2 = a√(2/3),所以 c/a = √(8/3) ≈ 1.633。實際金屬多少會偏離此理想值。
向上堆疊兩個晶胞(五層 A-B-A-B-A)與向外延伸基面。紅色那顆角原子由六個六角柱共用,所以只算 ⅙;上下底面中心原子由兩柱共用算 ½;中層三顆完整屬於紫框晶胞。
HCP 的堆疊順序是 ABAB:第三層(藍)正好回到第一層的正上方,只有兩種層位置。這是 HCP 與 FCC 唯一的差別——同樣的最密平面、同樣的 CN 12、同樣的 APF 0.74,只是第三層疊在哪裡不同。顏色代表層的位置,不是不同元素。
SC 與 BCC 不是最密堆積結構,沒有 ABAB/ABCABC 這種堆疊序列可談,因此此檢視僅適用於 FCC 與 HCP。
代表元素:釙(α-Po)——唯一以簡單立方結晶的元素。SC、BCC、FCC 三者的晶胞在本模型中邊長 a 相同,改變的只有原子半徑與數量,因此可以直接用眼睛比較空隙大小。
代表元素:α-Fe(肥粒鐵 ferrite)、Cr、W、Mo、V。BCC 不是最密堆積,滑移系統雖多但需要較高應力啟動,這正是低碳鋼在低溫轉為脆性破壞的結構根源。
代表元素:γ-Fe(沃斯田鐵 austenite)、Al、Cu、Ni、Ag、Au、Pb。FCC 為最密堆積,{111} 面上有充足的滑移系統,所以這類金屬延性好、低溫也不易脆化。
代表元素:Mg、Zn、Ti(α)、Co、Cd、Zr。HCP 雖與 FCC 同為最密堆積,但獨立滑移系統少得多(基面僅 3 個),所以鎂、鋅等 HCP 金屬在室溫下延展性明顯較差——同樣的堆積密度,不同的力學行為,差別就出在對稱性。
注意:HCP 的六角柱與前三者的立方晶胞尺寸不同,但原子半徑 R 與 FCC 完全相同——這是刻意的,唯有如此 ABAB 與 ABCABC 的對照才是同一種最密平面的比較。
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